[확률통계] 2. 독립사건과 확률

이는 이상화 교수님의 확률 및 통계 강의를 들으면서 정리한 내용입니다. 

더 자세한 내용과 강의를 듣고 싶으시다며 아래 링크를 이용해주세요.

 

http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=a2881d53f7ea3252 

확률 및 통계

 

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2. 독립사건과 확률

2-1. Combinotorial Analysis

순열, 조합과 같은 문제를 말함.

Permutation(순열): 서로 다른 n개를 1열로 나열하는 방법. 

• 반드시 1열로 나열.
• 순서를 고려.
• 0!=1

• n개 중에서 r개만큼을 뽑아서 1열로 나열하려면?

 

Group Permutation

중복이 있는 것들의 순열. 그룹이 2개면 조합과 같음.

 

Circular Permutation

원순열

• 평면적으로 object들을 배열.
• 회전하더라도 다 같은 것으로 보겠다.(n번 회전해도 다 같은 것이므로 n을 나눠줌)

밑과 같은 직사각형이면 먼저 원순열이라고 생각하고, 1이 1,2,3,4,5번에 있을 때 다 다르므로 5를 곱해줌.

• $\frac{10!}{10}\times 5$

 

Combination

• n개 중에서 r개를 선택하는 것.
• 순서는 고려하지 않음

 

n+m개 중에서 r개를 뽑는 확률

 

Binomial Theorem

미분을 하면!!

또 미분하면!!

이런게 왜 필요할까?? 이항분포에서 이항정리를 갖고 확률이 구해짐.

 

이항분포: 반복된 시행을 n번해서 p라는 확률을 갖는 특별한 경우가 몇 번 나오는가

$m=np, \ \sigma^2=np(1-p)$

 

멱급수

함수를 잘 조절하여서 쉬운 급수표현으로 만들 수 있다.

멱급수: 등비수열과 등차수열의 곱으로 이루어진 수.

 

Stirling's Formula

factorial 연산하는데 n이 커지면 연산이 힘들어진다. 그래서 n이 충분히 크다하면 어떠한 수로 approximation을 함.

 

Reliability

어떤 시스템이 유용하게 제대로 동작하는 기간.

시간에 대한 함수로 다음과 같이 정의!

 

R(t): 시작한 시점부터 t라는 시간이 경과한 시점까지 시스템이 유용하게 동작할 확률.

 

Series Connection

가정) $C_1$이 고장나더라도 다른 모듈자체가 고장나는 것은 아니다 => 서로 간 Independent.

 

전체 시스템이 R(t) 시점까지 잘 동작할 확률은 무엇일까?

 

Parallel Connection

 

적어도 하나의 모듈만 살아있으면 동작한다! 

적어도이면=> 다 안되는 확률 합쳐서 1에서 빼준다.

 

$R(t) \ => \ 1 - (1-R_1)(1-R_2)\dots (1-R_n)$

$1 - \Pi^n_{i=1}(1-R_i(t))$

 

위 예제들은 단순하지만 다음과 같이 복잡할 수 있다!...

 

 

i) $C_3$가 시간 t일 때 동작하는 경우

• reliability: $R_x=P(R(T)|C_3 \ functioning)$

ii) $C_3$가 동작하지 않는 경우

• reliability: $R_y=P(R(t) | C_3 \ not \ functioning$

$R = R_xR_3 + R_y(1-R_3)$

 

$R_x=(1-(1-R_1)(1-R_2))(1-(1-R_4)(1-R_5))$

$R_y=1- (1-R_1R_4)(1-R_2R_5)$

$R= R_1R_4 + R_2R_5+R_1R_3R_5+\dots+R_1R_2R_3R_4R_5$